Question

19．如图所示，实心均匀正方体乙放置在水平面上，实心均匀正方体甲放置在乙的正上方，正方体乙的边长大于甲的边长，若沿水平方向切去正方体甲的一定厚度，使正方体甲剩余部分对乙的压强等于正方体乙对水平面的压强，则原来正方体甲、乙可能（　　）

• A． 密度相同
• B． 质量相同
• C． 体积相同
• D． 对各自接触面的压强相同

Answer 1

分析 由压强公式p=$\frac{F}{S}$推导出正方体甲剩余部分对乙的压强与于正方体乙对水平面的压强的表达式p=ρhg，然后据此表达式相等分析解答此题．

解答 解：设实心均匀正方体甲、乙的边长分别为L_甲、L_乙，密度分别为ρ_甲、ρ_乙；
若沿水平方向切去正方体甲的一定厚度后，正方体甲剩余部分高度为h，
则正方体甲剩余部分对乙的压力为F_甲′=G_甲′=m_甲′g=ρ_甲V_甲′g=ρ_甲L_甲²hg，
所以，正方体甲剩余部分对乙的压强p_甲′=$\frac{{F}_{甲}′}{{S}_{甲}}$=$\frac{{ρ}_{甲}{{L}_{甲}}^{2}hg}{{L}_{甲}^{2}}$=ρ_甲hg，
正方体乙对水平面的压力为F_乙′=G_乙+G_甲′=m_乙g+m_甲′g=ρ_乙V_乙g+ρ_甲V_甲′g=ρ_乙L_乙³g+ρ_甲L_甲²hg，
所以，正方体乙对水平面的压强p_乙′=$\frac{{F}_{乙}′}{{S}_{乙}}$=$\frac{{ρ}_{乙}{{L}_{乙}}^{3}g+{ρ}_{甲}{{L}_{甲}}^{2}hg}{{{L}_{乙}}^{2}}$=ρ_乙L_乙g+ρ_甲g$\frac{{{L}_{甲}}^{2}h}{{{L}_{乙}}^{2}}$，
由题意可知：p_甲′=p_乙′，
则：ρ_甲hg=ρ_乙L_乙g+ρ_甲g$\frac{{{L}_{甲}}^{2}h}{{{L}_{乙}}^{2}}$，
即：ρ_甲h（1-$\frac{{L}_{甲}^{2}}{{L}_{乙}^{2}}$）=ρ_乙L_乙，
所以，ρ_甲h（L_乙²-L_甲²）=ρ_乙L_乙³，
由于L_乙＞L_甲，h＜L_甲，则$\frac{{ρ}_{甲}}{{ρ}_{乙}}$=$\frac{{{L}_{乙}}^{3}}{h（{{L}_{乙}}^{2}-{{L}_{甲}}^{2}）}$＞1，
所以，ρ_甲＞ρ_乙，故A错误；
由V=L³可知，实心均匀正方体甲、乙的体积不同，故C错误；
沿水平方向切去正方体甲的一定厚度后，正方体甲剩余部分对乙的压强等于正方体乙对水平面的压强，则原来正方体甲、乙对各自接触面的压强不相同，故D错误；
故选B．

点评 本题考查压强的大小计算，关键是公式及其变形的灵活运用，难点是求剩余部分的重力和接触面积，要知道在水平面上物体对水平面的压力等于物体自身的重力．