题目内容
已知球体的体积公式是v=| 4 |
| 3 |
| 2R |
| 3 |
| R |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（1）制成空心球腔和实心小球的物质的密度；
（2）若在空心球腔内注满水后，再把整个球体放入水中，整个球体浮出水面的体积和空心球腔壁对实心小球的作用力．
分析：（1）根据“球体的体积公式是v=
πr3”，可分别求出球腔实心部分的体积和实心小球的体积，然后可得其质量表达式，因为空心球漂浮在水面上，所以利用ρ水gV排=Mg即可求出物质的密度．
（2）求出空腔内注水质量m，然后可知注满水的球腔和小秋的总质量M′，从而可知球腔一体仍然是漂浮，然后可知排开水的体积
和露出水面的体积，因小球平衡，因此在求腔内会受到球腔对其向下的压力F=F浮=mg即可．
| 4 |
| 3 |
（2）求出空腔内注水质量m，然后可知注满水的球腔和小秋的总质量M′，从而可知球腔一体仍然是漂浮，然后可知排开水的体积
| V | ′ 排 |
解答：解：由“空心球腔的外半径为R”，空心球腔的体积为V=
πR3，球腔实心部分的体积V1=
π[R3-(
)3]=
，
实心小球的体积V2=
π(
)3=
所以他们的质量M=ρ（V1+V2）=
…①，
已知“若将整个球体放入水中，则空心球腔有
的体积露出水面”，则漂浮在水中排开水的体积V排=
V=
πR3…②，
因为空心球漂浮在水面上，所以ρ水gV排=Mg…③，
将①②代入③得ρ=900kg/m3．
答：制成空心球腔和实心小球的物质的密度为900kg/m3．
（2）空腔内注水质量m=ρ水
π[(
)3-(
)3]=
，
所以注满水的球腔和小球的总质量
M′=M+m=
+
=
+
=
M′=
+
=
ρ水πR3＜
ρ水πR3，
所以球腔一体仍然是漂浮，则排开水的体积
=
=
，
所以露出水面的体积为V-
=
πR3-
=
（占球腔总体积的
），
小球平衡，因此在球腔内会受到球腔对其向下的压力F，
F=F浮-mg=
-
=
-
=
．
答：整个球体浮出水面的体积为
（占球腔总体积的
）；
空心球腔壁对实心小球的作用力为
．
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2R |
| 3 |
| 76πR3 |
| 81 |
实心小球的体积V2=
| 4 |
| 3 |
| R |
| 3 |
| 4πR3 |
| 81 |
所以他们的质量M=ρ（V1+V2）=
| ρ80πR3 |
| 81 |
已知“若将整个球体放入水中，则空心球腔有
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 9 |
因为空心球漂浮在水面上，所以ρ水gV排=Mg…③，
将①②代入③得ρ=900kg/m3．
答：制成空心球腔和实心小球的物质的密度为900kg/m3．
（2）空腔内注水质量m=ρ水
| 4 |
| 3 |
| 2R |
| 3 |
| R |
| 3 |
| 28ρ水πR3 |
| 81 |
所以注满水的球腔和小球的总质量
M′=M+m=
| ρ80πR3 |
| 81 |
| 28ρ水πR3 |
| 81 |
| 900kg/m3×80πR3 |
| 81 |
| 1000kg/m3×28πR3 |
| 81 |
| 100000πR3 |
| 81 |
M′=
| 72ρ水πR3 |
| 81 |
| 28ρ水πR3 |
| 81 |
| 100 |
| 81 |
| 4 |
| 3 |
所以球腔一体仍然是漂浮，则排开水的体积
| V | ′ 排 |
| M′ |
| ρ水 |
| 100πR3 |
| 81 |
所以露出水面的体积为V-
| V | ′ 排 |
| 4 |
| 3 |
| 100πR3 |
| 81 |
| 8πR3 |
| 81 |
| 2 |
| 27 |
小球平衡，因此在球腔内会受到球腔对其向下的压力F，
F=F浮-mg=
| ρ水g4πR3 |
| 81 |
| ρg4πR3 |
| 81 |
| 1.0×103kg/m3×10N/kg×4πR3 |
| 81 |
| 900kg/m3×10N/kg×4πR3 |
| 81 |
=
| 4000πR3 |
| 81 |
答：整个球体浮出水面的体积为
| 8πR3 |
| 81 |
| 2 |
| 27 |
空心球腔壁对实心小球的作用力为
| 4000πR3 |
| 81 |
点评：此题涉及到球的体积，密度公式的应用，物体浮沉条件的应用等多个知识点，难度很大，而且计算过程非常繁琐，稍一疏忽，就有可能出错，从而导致整个题错误，因此解答此题不仅要细心，而且要有耐心，总之，此题属于难题．
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