Question

如图所示，一根细绳悬挂一个半径为r米、质量为m千克的半球，半球的底面与容器底部紧密接触，此容器内液体的密度为ρ千克/米³，高度为H米，大气压强为p₀帕，已知球体的体积公式是V=4πr³/3，球面积公式是S_球=4πr²，圆面积公式是S_圆=πr²．则液体对半球的压力为

πr²ρgH-

2

3

ρgπr³

牛．若要把半球从水中拉起，则至少要用

πr²ρgH-

2

3

ρgπr³+mg+p₀πr²

牛的竖直向上的拉力．

Answer 1

分析：浸没在液体中的固态受到的浮力等于固态各表面所受液体压力的合力；我们可以先设想半球体下表面有液体，求出此时下表面受到的液体压力和半球体受到的浮力，从而求出此时液体对半球体上表面的压力；然后对半球体进行受力分析，求出把半球体从水中拉起需要的拉力．

解答：解：（1）假设半球下表面处全部为液体，
则半球受到的浮力F_浮方向竖直向上，由阿基米德原理可知，
F_浮=ρgV_排=ρgV_半球=ρg×

1

2

×

4

3

πr³=

2

3

ρgπr³；
半球表面各处所受液体压力的分布如图所示，
半球上表面受到的液体压力F_上竖直向下，
∵P=

F

S

，∴F=PS，半球下表面受到的液体压力：
F_下=P_下S_圆=P_液S_圆=ρgH×πr²，方向竖直向上，
半球受到的浮力F_浮等于半球下表面与上表面所受液体对它的压力合力，
即：F_浮=F_下-F_上，F_上=F_下-F_浮=πr²ρgH-

2

3

ρgπr³，
在本题给出的条件中，半球底部与容器底部紧密接触，即半球的下表面处并不与液体接触，
但这并不改变半球上表面受液体压力作用的情况，则液体对半球的压力仍为F_上=πr²ρgH-

2

3

ρgπr³；
（2）半球刚要被拉起时，容器底板对半球的下表面已无向上的支持力，
则竖直向上的拉力F_拉至少要等于上述的F_上与半球本身的重力之和，
即：F_拉=F_上+mg=πr²ρgH-

2

3

ρgπr³+mg+p₀πr²．
故答案为：πr²ρgH-

2

3

ρgπr³；πr²ρgH-

2

3

ρgπr³+mg+p₀πr²．

点评：本题难度较大，是一道难题，知道浮力产生的原因、熟练应用压强公式的变形公式、液体压强公式、对半球正确受力分析等是正确解题的关键．