Question

19．如图所示，小圆筒A底部有一个半径为r的圈孔，大圆筒B套于A的外部，里外圆筒中分别盛有密度为ρ₁和ρ₂的液体，液面相平，距A的底部为h．一半径略大于r的圆球盖住圆孔，试求圆球所受液体的浮力．

Answer 1

分析 （1）由于上下半球浸在不同液体里，所以不能直接用阿基米德原理计算小球受到的浮力．可以把它拆成上下两个半球，用密度为ρ₂的液体对球向上的压力与密度为ρ₁的液体对球向下的压力之差来求浮力．
（2）由于球面上不同部分受到液体压力不同（深度不同），为求上下半球面受到的液体压力，需要构建辅助图，即只剩下半球浸没在同一液体中，根据压力差法分别求出上下半球面受到的液体压力，最后又用压力差法求整个球受到的浮力．

解答 解：本题只能根据浮力产生的原因来求解，即压力差法求浮力．
小球的上表面是一个半球面，且各部分压强都不相等，我们观察下面两图可知，液体对下半球的压力应该相等，即F₁=F₂；在图2中F_浮2=F₂-F′，所以F₁=F₂=F_浮2+F′①，

同理下面两图中，液体对上半球的压力应该相等，即F₃=F₄；在图4中，F_浮1=F-F₄，
所以F₃=F₄=F-F_浮1 ②

所以小球上下表面的压力差：
F₁-F₃=F_浮2+F′-（F-F_浮1）=F_浮1+F_浮2+F′-F
=ρ₁g×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³+ρ₂g×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³+ρ₂ghπr²-ρ₁ghπr²
=（ρ₁+ρ₂）g$\frac{2}{3}$πr³+（ρ₂-ρ₁）ghπr²
答：圆球所受液体的浮力为（ρ₁+ρ₂）g$\frac{2}{3}$πr³+（ρ₂-ρ₁）ghπr² ．

点评 本题考查了压力差法、阿基米德原理、液体压强等知识，求某个半球面受到的液体压力时，运用等效法的思想构建辅助图是关键．