Question

18．如图，薄壁圆柱形容器甲和均匀正方体乙置于水平地面上，容器甲足够高、底面积为5×10^-2米²盛有0.1米深的水，正方体乙质量为6千克，密度为3×10³千克/米³．求：
（1）容器甲内水的质量；
（2）正方体乙的体积；
（3）若甲中水、乙同时减少了相同的体积△V，则甲中水、乙剩余的质量m_水’
和m_乙’；请通过计算比较它们的大小关系及其对应的△V的取值范围．

Answer 1

分析 （1）知道底面积和水深，利用V=Sh求容器甲内水的体积，再利用ρ=$\frac{m}{V}$求容器甲内水的质量；
（2）知道乙的质量、密度，利用ρ=$\frac{m}{V}$求正方体乙的体积；
（3）若甲中水、乙同时减少了相同的体积△V，根据水、乙的体积，0＜△V＜2×10^-3m³，甲中水剩余的质量m_水′=m_水-ρ_水△V，乙剩余的质量m_乙′=m_乙-ρ_乙△V，据此利用作差法求出剩余质量相同时减小的体积，进而剩余质量其他关系时减小体积的范围值．

解答 解：
（1）容器甲内水的体积：
V_水=Sh=5×10^-2m²×0.1m=5×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得容器甲内水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1×10³kg/m³×5×10^-3m³=5kg；
（2）由ρ=$\frac{m}{V}$得正方体乙的体积：
V_乙=$\frac{{m}_{乙}}{{ρ}_{乙}}$=$\frac{6kg}{3×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=2×10^-3m³；
（3）若甲中水、乙同时减少了相同的体积△V，由前面的计算可知，乙的体积小于水的体积，则减少体积的范围为0＜△V＜2×10^-3m³，
甲中水剩余的质量m_水′=m_水-ρ_水△V，
乙剩余的质量m_乙′=m_乙-ρ_乙△V，
则m_水′-m_乙′=（m_水-ρ_水△V）-（m_乙-ρ_乙△V）
=（5kg-1×10³kg/m³×△V）-（6kg-3×10³kg/m³×△V）
=5kg-1×10³kg/m³×△V-6kg+3×10³kg/m³×△V
=2×10³kg/m³×△V-1kg，
若2×10³kg/m³×△V-1kg=0，即△V=5×10^-4m³；此时m_水′=m_乙′，
若2×10³kg/m³×△V-1kg＞0，即△V＞5×10^-4m³；则m_水′＞m_乙′，
若2×10³kg/m³×△V-1kg＜0，即△V＜5×10^-4m³，则m_水′＜m_乙′．
由此可知，当0＜△V＜5×10^-4m³时，m_水′＜m_乙′；
当5×10^-4m³＜△V＜2×10^-3m³时，m_水′＞m_乙′；
当△V=5×10^-4m³时，m_水′=m_乙′．
答：（1）容器甲内水的质量为5kg；
（2）正方体乙的体积为2×10^-3m³；
（3）当0＜△V＜5×10^-4m³时，m_水′＜m_乙′；当5×10^-4m³＜△V＜2×10^-3m³时，m_水′＞m_乙′；当△V=5×10^-4m³时，m_水′=m_乙′．

点评 本题考查了密度公式的应用，难点在第三问，利用作差法得出剩余质量相同时减小的体积是本题的关键．