题目内容
13．如图所示，圆柱形容器中放有适量的水，A为长方体，其重力为1200N，用起重机提着A将其放入水中一定深度静止，此时起重机的拉力为800N，已知A的底面积为0.2m2，高为0.3m．然后将A挂在杠杆的D端．将B挂在杠杆的C端，当B完全浸没在水中时，A对地面的压强为2000Pa，当B有一半浸在水中时，A对地面的压强为1000Pa，OC=2OD．求：（1）当起重机的拉力为800N时，A的底面受到水的压强是多大？
（2）物体B的密度？
分析 （1）当起重机的拉力为800N时，物体A受到的浮力等于物体重力减去拉力，利用阿基米德原理的推导公式F浮=ρ水V排g求排开水的体积，利用V=Sh求浸入的深度，再利用液体压强公式求A的底面受到水的压强；
（2）将A挂在杠杆的D端，将B挂在杠杆的C端，当B完全浸没在水中时，知道A对地面的压强，利用F=pS求A对地面的压力，而压力等于重力减去拉力，可求物体受到的拉力，根据力的作用是相互的，可求D端受到的拉力，根据杠杆平衡条件求C端受到的拉力；而物体B的重力等于拉力加上浮力，可得关系式GB=400N+ρ水VBg--①；同理可得当B一半浸在水中时的关系式GB=500N+ρ水$\frac{1}{2}$VBg---②；联立方程组求出物体B的重力和体积，再利用重力公式和密度公式求物体B的密度．
解答 解：
（1）当起重机的拉力为800N时，物体A受到的浮力：
F浮=GA-F拉=1200N-800N=400N，
由F浮=ρ水V排g得排开水的体积：
V排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{400N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.04m3，
浸入深度：
h浸=$\frac{{V}_{排}}{S}$=$\frac{0.04{m}^{3}}{0.2{m}^{2}}$=0.2m，
A的底面受到水的压强：
p=ρ水gh浸=1×103kg/m3×10N/kg×0.2m=1000Pa；
（2）将A挂在杠杆的D端，将B挂在杠杆的C端，当B完全浸没在水中时，A对地面的压强pA=2000Pa，A对地面的压力F压1=pAS=2000Pa×0.2m2=400N，而F压1=GA-F拉1，则物体受到的拉力F拉1=GA-F压1=1200N-400N=800N，根据力的作用是相互的，D端受到的拉力FD=F压1=800N，根据杠杆平衡条件得：FD×OD=FC×OC，解得C端受到的拉力FC=$\frac{{F}_{D}×OD}{OC}$=FD×$\frac{OD}{OC}$=800N×$\frac{1}{2}$=400N；而物体B的重力等于拉力加上浮力，即GB=FC+F浮1，F浮1=ρ水V排1g=ρ水VBg，则有：
GB=400N+ρ水VBg，----①
当B一半浸在水中时，A对地面的压强pA′=1000Pa，A对地面的压力F压2=pA′S=1000Pa×0.2m2=200N，而F压2=GA-F拉2，则物体受到的拉力F拉2=GA-F压2=1200N-200N=1000N，根据力的作用是相互的，D端受到的拉力FD′=F压2=1000N，根据杠杆平衡条件得：FD′×OD=FC′×OC，解得C端受到的拉力FC′=FD′×$\frac{OD}{OC}$=1000N×$\frac{1}{2}$=500N；而物体B的重力等于拉力加上浮力，即GB=FC+′F浮2，F浮2=ρ水V排2g=ρ水$\frac{1}{2}$VBg，则有：
GB=500N+ρ水$\frac{1}{2}$VBg，---②
①-②得：
100N=ρ水$\frac{1}{2}$VBg，
100N=1×103kg/m3×$\frac{1}{2}$VB×10N/kg，解得：
VB=0.02m3，代入①得：
GB=400N+1×103kg/m3×$\frac{1}{2}$×0.02m3×10N/kg=500N，
物体B的质量：
m=$\frac{{G}_{B}}{g}$=$\frac{500N}{10N/kg}$=50kg，
物体B的密度：
ρB=$\frac{{m}_{B}}{{V}_{B}}$=$\frac{50kg}{0.02{m}^{3}}$=2.5×103kg/m3．
答：（1）当起重机的拉力为800N时，A的底面受到水的压强是为1000Pa；
（2）物体B的密度为2.5×103kg/m3．
点评 本题为力学综合题，考查了密度公式、重力公式、液体压强公式、压强定义式、阿基米德原理和杠杆平衡条件的应用，综合性强、知识点多，属于难题！
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