Question

20．一带阀门的圆柱形容器，底面积是200cm²，装有12cm深的水，正方体M边长为10cm，重20N，用细绳悬挂放入水中，有$\frac{1}{5}$的体积露出水面，如图所示，试求：
（1）正方体M的密度；
（2）正方体M受到的浮力以及此时水对容器底部的压强；
（3）若从图示状态开始，通过阀门K缓慢放水，当容器中水面下降了2cm时，细绳刚好被拉断，则细绳能承受的最大拉力是多少？（g取10N/kg，水的密度为1.0×10³kg/m³）

Answer 1

分析 （1）根据正方体M边长为10cm，可求其体积大小，利用密度公式ρ=$\frac{m}{V}$求密度；
（2）由于用细绳悬挂放入水中，有$\frac{1}{5}$的体积露出水面，求出V_排，利用V=Sh求得放入水中后水深，再利用p=ρgh可求得图示状态下水对容器底部的压强；
（3）根据容器的底面积和水面下降2cm时正方体M浸入水中的体积，利用F_浮=ρ_水gV_排即可求出此时M受到的浮力；由正方体重力和浮力即可求出细绳所能承受的最大拉力．

解答 解：
（1）正方体M的质量m_M=2kg，
体积为V_M=L³=（10cm）³=1000cm³=1×10^-3m³，
所以，密度ρ_M=$\frac{{M}_{A}}{{V}_{A}}$=$\frac{2kg}{1×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=2×10³kg/m³；
（2）由于用细绳悬挂放入水中，有$\frac{1}{5}$的体积露出水面，则：
V_排=（1-$\frac{1}{5}$）V_A=$\frac{4}{5}$×1×10^-3m³=8×10^-4m³，
设M放入水中后水深为h′，则有Sh′=Sh+V_排1，
则h′=h+$\frac{{V}_{排}}{S}$=0.12m+$\frac{8×1{0}^{-4}{m}^{3}}{200×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.16m，
此时水对容器底部的压强：
p=ρ_水gH′=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.16m=1.6×10³Pa．
（3）原来石块M浸入水中深度为h₁=（1-$\frac{1}{5}$）L=$\frac{4}{5}$×10cm=8cm，
水面下降2cm时正方体M浸入水中深度为h₂=h₁-2cm=8cm-2cm=6cm，
则V_排2=h₂L²=6cm×（10cm）²=600cm³=6×10^-4m³，
F_浮2=ρ_水gV_排2=1.0×10³kg/m³×10N/kg×6×10^-4m³=6N；
当绳子刚被拉断时有：F_m+F_浮2=G，
所以细绳能承受的最大拉力F_max=G-F_浮′=20N-6N=14N．
答：（1）正方体M的密度为2×10³kg/m³；
（2）图示状态下水对容器底部的压强为1.6×10³Pa；
（3）细绳能承受的最大拉力是14N．

点评 此题综合性很强，且难度很大；此题的难点在（3）算出绳子断的临界拉力，增加的拉力就是排出水的重力，根据F_浮=ρ_水gL²h可求出此时A浸入水中深度，然后问题可解．