【题目】如图1．在边长为10的正方形中，点在边上移动（点不与点，重合），的垂直平分线分别交，于点，，将正方形沿所在直线折叠，则点的对应点为点，点落在点处，与交于点，

（1）若，求的长；

（2）随着点在边上位置的变化，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数；

（3）随着点在边上位置的变化，点在边上位置也发生变化，若点恰好为的中点（如图2），求的长．

（1）如图1，若E是AB的中点，求⊙E在AD所在的直线上截得的弦长；

（2）如图2，若⊙E与BC所在的直线相切，求AE的长．

【题目】如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．

（1）求证：；

（2）求的度数；

（3）若，求的长．

（1）请你为该景区设计购买甲，乙两种设备的方案；

（2）已知每台甲型设备价格为3万元，每台乙型设备价格为4．4万元．厂家为了促销产品，规定总货款不低于40万元时，可按9折优惠．问采用（1）中设计的哪种购买方案，使购买费用最少？

【题目】如图，中，，，，点是边上一定点，且，点是线段上一动点，连接，以为斜边在的右侧作等腰直角．当点从点出发运动至点停止时，点的运动的路径长为_________．

A. ①②③ B. ①②④ C. ①④ D. ②③④

【题目】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为___________．

（1）求点B的坐标；

（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由；

（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．

【题目】如图，已知，，．一只蝉从点沿方向以的速度爬行，一只螳螂为了捕捉这只蝉，由点沿方向以的速度爬行，一段时间后，它们分别到达了点，的位置．若此时的面积为，求它们爬行的时间．