Question

【题目】如图，中，，，，点是边上一定点，且，点是线段上一动点，连接，以为斜边在的右侧作等腰直角．当点从点出发运动至点停止时，点的运动的路径长为_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，连接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N．证明△FNA≌△FME（AAS），推出FM=FM，AN=EM，推出四边形CMFN是正方形，推出点F在射线CF上运动（CF是∠ACB的角平分线），求出两种特殊位置CF的长即可解决问题．

如图，连接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N．

∵∠FNC=∠MCN=∠FMC=90°，
∴四边形CMFN是矩形，
∴∠MFN=∠AFE=90°，
∴∠AFN=∠MFE，
∵AF=FE，∠FNA=∠FME=90°，
∴△FNA≌△FME（AAS），
∴FM=FM，AN=EM，
∴四边形CMFN是正方形，
∴CN=CM，CF=CM，∠FCN=∠FCM=45°，
∵AC+CE=CN+AN+CM-EM=2CM，
∴CF= （AC+CE）．
∴点F在射线CF上运动（CF是∠ACB的角平分线），
当点E与D重合时，CF=（AC+CD）=2，
当点E与B重合时，CF=（AC+CB）=，
∵-2= ，
∴点F的运动的路径长为．
故答案为：．