如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。

求证：（1）BC是⊙O的切线； （2）EM＝FM。

矩形ABCD一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．

(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.

① 求证：△OCP∽△PDA；

② 若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长．

(2)如图②，在(1)的条件下，擦去AO和OP，连接BP.动点M在线段AP上(不与点P，A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

如图1、2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G．

（1）在图1中，设正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，AP=x，求y关于x的函数表达式；

（2）结论：GB⊥EF对图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；

（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB．

已知：ABCD是凸四边形，且AC＜BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M、交BD于N，AC和BD交于点G。求证：∠GMN＞∠GNM。

如图，在△ABC中，AB=AC，AE=CF．求证： 。

我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；

（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

已知抛物线y=-x2+2mx-m2+1与x轴交点为A、B（点B在点A右侧），与y轴交于点C.

（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；

（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若是等腰三角形，求抛物线的解析式；

（3）已知一次函数，点P（n，0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线于点N，若只有当时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式.

已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（m≠0）.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；

（3）在（2）的条件下，将关于的二次函数y= mx2+（3m+1）x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

已知一次函数（k≠0）的图象经过， 两点，二次函数（其中a＞2）.

（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；

（2）利用函数图象解决下列问题：

①若，求当且≤0时，自变量x的取值范围；

②如果满足且≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围.