Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上任意一点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F，交CD于点G．

（1）求证：∠DAE＝∠DCE；

（2）若∠F＝30°，DG＝2，求CG的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CG＝2﹣2

【解析】

（1）根据正方形的性质得出∠ADE＝∠CDE，AD＝CD，根据全等三角形的判定推出△ADE≌△CDE,则结论可得；

（2）根据正方形的性质得出AD＝DC，∠ADC＝90°，AD∥BC，求出∠F＝∠DAG＝30°，解直角三角形求出AD，即可得出答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADE＝∠CDE，AD＝CD，

在△ADE和△CDE中

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴∠DAE＝∠DCE；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠ADC＝90°，AD∥BC，

∴∠DAG＝∠F，

∵∠F＝30°，

∴∠DAG＝30°，

∵DG＝2，

∴AG＝2DG＝4，

由勾股定理得：AD＝＝＝2，

∴DC＝AD＝2，

∴CG＝CD﹣DG＝2﹣2．