Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A（-1，0）、C（0，-3）．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c 的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面积比；
（3）若点P在对称轴上，求AP+CP的最小值．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）根据交点式得出y=a（x-3）（x+1），将C（0，-3）代入求出a即可得出这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）根据面积公式即可求得．
（3）根据抛物线的对称性求出点B的坐标，作直线BC，由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小，然后根据勾股定理求得．

解答：解：（1）∵对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0），
∴点B（3，0），
设y=a（x-3）（x+1），把C（0，-3）代入
解得：a=1，
故解析式为：y=x²-2x-3；

（2）依题意，得OA=1，OB=3，
∴S_△AOC：S_△BOC=

1

2

OA•OC：

1

2

OB•OC=OA：OB
=1：3．

（3）如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0）
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小．
在RT△BOC中，OC=3，OB=3；
∴BC=

OC2+OB2

=3

2

；
∴AP+CP的最小值为 3

2

．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求函数解析式，（2）中判断出点P的位置是解题的关键．