Question

已知正整数a、b、c满足a＞b＞c，且

36-6(a+b+c)+(ab+bc+ca)=0 81-9(a+b+c)+(ab+bc+ca)=0

，求a、b、c的值．

Answer 1

分析：首先利用换元法，设a+b+c=u，ab+bc+ca=v，解出u和v的值，也就得到了a+b+c和ab+bc+ca的值，再利用完全平方公式求出a²+b²+c²的值，从而确定a的范围，最后根据a、b、c是正整数逐一筛选，得到答案．

解答：解：设a+b+c=u，ab+bc+ca=v
∴

36-6u+v=0 81-9u+v=0

，
解得：

u=15 v=54

，
∴u²=225，2v=108，
∴u²-2v=117
∵（a+b+c）²=u²
∴a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=225
a²+b²+c²=117
∴a不能超过10
又∵a、b、c是正整数
∴10≥a＞b＞c＞0，
经筛选只有a=10，b=4，c=1，满足条件．

点评：此题主要考查了数学中的换元法求整体式子的解的应用，并且也考查了完全平方公式的应用，在确定字母范围后要逐一讨论，寻找符合条件的答案，题目较难，综合性较强．