Question

14．在平面直角坐标系中，有三点A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（3，0）．
（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；
（2）如图1，在线段AC上有一动点P，过P点作直线PD∥AB交BC于点D，求出△PBD面积的最大值；
（3）如图2，在（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点Q，使△QBD的面积与△PBD面积相等？如存在，直接写出Q点坐标；如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把B点坐标代入求出a即可；
（2）先利用三角函数的定义计算出∠OAB=60°，∠OCB=30°，则∠ABC=90°，于是得到PD⊥BC，设P（m，0），则PC=3-m，接着表示出PD和BD，则根据三角形面积公式得到S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•BD=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（m-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后根据二次函数的性质求解；
（3）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，由于△QBD的面积与△PBD面积相等，则点P到BD的距离等于P点到BD的距离：当PQ∥BD时，可得到此时直线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$可得Q点坐标；当点P和Q在BD两侧，利用直线平行得到Q点为直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$与抛物线的交点，再通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{5\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$得Q点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把B（0，$\sqrt{3}$）代入得a•1•（-3）=$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）如图1，
∵OA=1，OB=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴tan∠OAB=$\sqrt{3}$，tan∠OCB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BC=2OB=2$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=60°，∠OCB=30°，
∴∠ABC=90°，
∵PD∥AB，
∴PD⊥BC，
设P（m，0），则PC=3-m，
在Rt△PCD中，PD=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（3-m），CD=$\sqrt{3}$PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m），
∴BD=BC-CD=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m），
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•BD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（3-m）•[2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m）]
=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（m-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当m=1时，△PBD面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）如图2，设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，$\sqrt{3}$），C（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
过P点作BC的平行线交抛物线于Q，则△QBD的面积与△PBD面积相等，此时直线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{51}}{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{51}}{6}}\end{array}\right.$，此时Q点坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{51}}{6}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{51}}{6}$），
把直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$向上平移$\frac{4\sqrt{3}}{3}$个单位得到直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，则直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$交抛物线于Q，则△QBD的面积与△PBD面积相等，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{5\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，此时Q点坐标为（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（2，$\sqrt{3}$），
综上所述，Q点的坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{51}}{6}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{51}}{6}$）或（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）或（2，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数的平移变换；会利用待定系数法求函数解析式；记住含30度的直角三角形三边的关系；解决（3）小题的关键是把三角形面积相等的问题转化为到直线的距离相等．