Question

13．如图，矩形ABCD的对角线AC=4$\sqrt{5}$，BC＞AB，AB和BC的长是关于x的一元二次方程x²-kx+32=0的两个根，求AB和BC的值．

Answer 1

分析 由矩形的性质可知△ABC是以AC为斜边的直角三角形，即AB，BC的平方和是80，则一元二次方程x²-kx+32=0的两个实数根的平方和是80，根据韦达定理和勾股定理解出k的值，再把k的值代入原方程，解方程即可求出AB和BC的值．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
设边AB=a，BC=b，
∵a、b是方程x²-kx+32=0的两根
∴a+b=k，a•b=32，
又∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形，且BC=4$\sqrt{5}$，
∴a²+b²=80，
即（a+b）²-2ab=80，
∴k²-64=80，
∴k₁=12或k₂=-12，
当k=12时，方程为：x²-12x+32=0，
解得：x₁=4，x₂=8，
当k=12时，方程为：x²+12x+32=0，
解得：x₁=-4（舍），x₂=-8（舍），
∴求AB和BC的值分别为4和8．

点评 此题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及勾股定理的应用．求出k的值后，一定要代入原方程进行检验．