Question

4．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为点C和点D，AC与ED交于点O，AC=BD，点E是AB的中点，连接OE．
（1）求证：BC=AD；
（2）求证：线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．

Answer 1

分析 （1）利用HL定理可证得Rt△ADB≌Rt△BCA，由全等三角形的性质可得结论；
（2）由（1）的结论，利用AAS定理，可得△ADO≌△BCO，利用全等三角形的性质可得AO=BO，据线段垂直平分线的判定可得到点O在AB的垂直平分线上，又点E是AB的中点，可得点E在AB的垂直平分线上，证得结论．

解答 证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在Rt△ADB与Rt△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{BA=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL），
∴BC=AD；

（2）在△ADO与△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠BOC}\\{∠D=∠C=90°}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴AO=BO，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．

点评 本题主要考查全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的判定，掌握到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．