Question

7．已知，在正方形ABCD中，点G、F在AD上，E为AB的中点，CG⊥EF于点H，若AD=4AG，BH=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$，则DH=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 如图，设正方形ABCD的边长为12a，作HM⊥AB于M，MH的延长线交CD于N．由△AFE∽△DCG，得$\frac{AF}{AE}$=$\frac{CD}{DG}$=$\frac{4}{3}$，推出AF=8a，EF=10a，GF=5a，
同理△FHG∽△FAE，得$\frac{FG}{EF}$=$\frac{FH}{FA}$，推出FH=4a，HE=6a，由MH∥AF，得到$\frac{EM}{AE}$=$\frac{HM}{AF}$=$\frac{EH}{EF}$，推出EM=$\frac{18}{5}$a，HM=$\frac{24}{5}$a，想办法用a的代数式表示BH、HD，列出方程求出a即可解决问题．

解答 解：如图，设正方形ABCD的边长为12a，作HM⊥AB于M，MH的延长线交CD于N．

∵AB=AD=BC=CD=12a，AE=EB=6a，AG=3a，GD=9a，∠A=∠GDC=90°，EF⊥CG，
∴∠AFE+∠DGC=90°，∠DGC+∠DCG=90°，
∴∠AFE=∠GCD，
∴△AFE∽△DCG，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{CD}{DG}$=$\frac{4}{3}$，
∴AF=8a，EF=10a，GF=5a，
同理△FHG∽△FAE，
∴$\frac{FG}{EF}$=$\frac{FH}{FA}$，
∴FH=4a，HE=6a，
∵MH∥AF，
∴$\frac{EM}{AE}$=$\frac{HM}{AF}$=$\frac{EH}{EF}$，
∴EM=$\frac{18}{5}$a，HM=$\frac{24}{5}$a，
∴AM=DN=$\frac{12}{5}$a．HN=$\frac{36}{5}$a，DH=$\sqrt{H{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\frac{12}{5}\sqrt{10}$a，BM=$\frac{48}{5}a$，HB=$\sqrt{B{M}^{2}+H{M}^{2}}$=$\frac{24}{5}\sqrt{5}$a，
∵HB=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$a=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴DH=$\frac{12}{5}$$\sqrt{10}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$．
故答案为$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查正方形的性质、新三角形的判定和性质、勾股定理、平行线等分线段定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．