Question

【题目】如图，已知抛物线交x轴于A．B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(1，0)．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）连结CA与抛物线的对称轴交于点D．

①在对称轴上找一点P，使ΔAPC为直角三角形，求点P的坐标．

②在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的对称轴为；点A的坐标为；（2）①点P坐标为或或或；②存在这样的点，此时直线CM的解析式为．

【解析】

（1）令解关于x的一元二次方程可得点A坐标；再将抛物线的解析式化为顶点式可得对称轴；

（2）①先求出点C坐标，再根据直角三角形的定义分三种情况，然后分别根据勾股定理求解即可得；

②如图（见解析），先求出四边形DEOC的面积，从而可得的面积，再根据三角形的面积公式可得OF的长，从而可得点F坐标，然后利用待定系数法可求出直线CM的解析式，最后联立一次函数和二次函数的解析式，看是否有交点即可得．

（1）令得

解得或

则点A的坐标为

二次函数化为顶点式

则抛物线的对称轴为；

（2）①令得，则点C坐标为

设点P坐标为

由直角三角形的定义，分以下三种情况：

当PA为斜边时，则

即，解得

此时，点P坐标为

当PC为斜边时，则

即，解得

此时，点P坐标为

当AC为斜边时，则

即，解得

此时，点P坐标为或

综上，点P坐标为或或或；

②存在，求解过程如下：

∵轴，

是等腰直角三角形，，四边形DEOC为直角梯形

是等腰直角三角形

设直线CM的解析式为，与OE的交点为点F

由题意得：

解得

将点代入直线CM的解析式得：

解得

则直线CM的解析式为

联立，解得或

故存在这样的点，此时直线CM的解析式为．