题目内容
【题目】如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于
点，连接
，已知
，且抛物线经过点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点
是抛物线上位于轴下方的一点，且
，求的坐标；
（3）若点
是轴上一点，以
三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
，
，
【解析】
（1）将点B，D的坐标分别代入抛物线的解析式，建立关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，就可得到抛物线的解析式.（2）由y=0，求出对应的x的值，即可得到点A的坐标，从而可求出AB的长，再由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，过点E作x轴的垂线交lAC于点F，利用函数解析式设点F，E的坐标，利用已知条件建立关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到符合题意的点E的坐标.（3）利用等腰三角形的判定，分情况讨论：当点A为等腰△PAC的顶点时，AC=AP；当点C为等腰△PAC的顶点时，CA=CP；当点P为等腰△PAC的顶点时，CA=CP， 分别求出符合题意的点P的坐标.
（1）将点
，点
代入
，
可得
，解得
，
抛物线解析式： ；
（2）当
时，
，
解方程，得
，
，
，
当
时，
，
，
，
设
，将点
代入
，
得
，解得
，
，
如图1，过点
作
轴的垂线交
于点
，
设点
，点
，其中
，
，
由
，
可得
或
，
解得：
（舍），
，
；
（3）情形一：当点
为等腰
的顶点时，
，如图2，
，
，
点 ；
情形二：当点
为等腰的顶点时，
,如图3，
，
；
情形三：当点
为等腰的顶点时，，如图4，
过线段
的中点
作垂线交
轴于点，
由中点坐标公式可得
，
，
，
又
，
，
，
当时，
，
；
综上所述：，，，.
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