Question

如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=7cm，BC=5cm，点P从点C开始沿CA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒1cm的速度移动．
（1）如果P、Q分别从C、B同时出发，那么几秒后，△PCQ的面积等于4cm²？
（2）如果P、Q分别从C、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PCQ的面积能否等于7cm²？说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）分别表示出线段CP和线段CQ的长利用三角形的面积公式列出方程求解即可；
（2）表示出线段CP和CQ后利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）由（1）列出方程利用根的判别式判断方程根的情况即可．

解答：解：（1）设t秒后△PCQ的面积等于4cm，根据题意得：BQ=t，CQ=5-t，CP=2t，
∴

1

2

CQ•CP=

1

2

×2t（5-t）=4
解得t=1或t=4，
答：经过1或4秒后，△PCQ的面积等于4cm；

（2）设t秒后，PQ的长度等于5cm，
由勾股定理得：（2t）²+（5-t）²=5²，
解得：t=0（舍去）或t=2，
答：经过2秒后，PQ的长度等于5cm；

（3）根据题意得：

1

2

CQ•CP=

1

2

×2t（5-t）=7
整理得：t²-5t+7=0
∵次方程无解，
∴△PCQ的面积不能等于7cm²．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程，难度中等．