Question

【题目】如图，在等腰直角三角形中，，以为一边向外做平行四边形，连接，井延长交于，延长交于，且．

（1）如图1，若，求；

（2）如图1，求证：；

（3）如图2，延长交于，连接交于，过作的平行线交于，交于，连接，若，平行四边形面积为96，．求的长．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）见详解；（3）FN+AN=5+

【解析】

（1）首先证明四边形ABDE是菱形，然后利用菱形的性质求出∠EDB的度数，进而求出∠DAG,∠ECB的度数最后利用三角形外角的性质即可求解;
（2）连接BF,由菱形的性质推出△EAF≌△BAF(SAS)，根据全等三角形的性质推出∠EFA=∠BFA=45°，进而∠CFB=90°，推出BF2+CF2=BC2，BC2=AB2+AC2=2AB2=2DE2，从而得出BF2+CF2=2DE2

（3）首先通过菱形的面积公式求出BE的长度，进面可求出英形的边长，然后利用三角形中位线的可得出OM,MN.CH的长度，进而利用勾股定理即可求出AH的长度，然后由（2）可知∠BFC=90°,根据中线的性质求得FN=BC=5,则答案可解．

解：（1）∵，，

∴AB=BD，

∴平行四边形ABDE是菱形，

∴AB=BD=DE=EA=AC，

∵DE∥AB，∠BAC=90°

∴∠DGA=90°

∵∠EDA=70°

∴∠DAG=180°-∠EDA-∠DGA=180°-70°-90°=20°=∠CAF

∵DE=EA,

∴∠EDA=∠EAD=70°

∴∠GAE=∠EAD-∠CAF=70°-20°=50°

∵EA=AC，

∴∠AEC=∠ACE

∵∠GAE=∠AEC+∠ACE=2∠ACE=50°

∴∠ACE=25°

∴∠EFD=∠ACE +∠CAF=25°+20°=45°

故答案为：∠EFD=45°

（2）证明：如图1，连接BF，

∵平行四边形ABDE是菱形，

∴AE=AB，∴∠EAD=∠BAD=70°

∴∠EAF=∠BAF

在△EAF和△BAF中

∴△EAF≌△BAF(SAS)

∴EF=BF，∠EFA=∠BFA=45°，

∴∠EFB=90°，

∴∠CFB=90°，

∴BF2+CF2=BC2，BC2=AB2+AC2=2AB2=2DE2

∴BF2+CF2=2DE2

（3）如图2，连接BF

∵S菱形ABDE=AD·BE=96，AD=12

∴BE=16，

∴OE=BE=8，OD=AD=6

∴DE=

∴BC=

∵Rt△OEF是等腰直角三角形，

∴EF=2OE，

由（2）结论得，CF=2OD

∴EF=8，CF=6

∴EF=14

∵O为BE的中点，ON∥EC

∴ON=EC=7

∵

∴MN=ON-OM=

∴CH=

∵∠BAC=90°,

∴∠HAC=90°

∴AH=

由（2）可知：∠BFC=90°,N是BC的中点，

∴FN=BC=5，

∴FN+AN=5+

故答案为：FN+AN=5+