Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、（左右）两点，交轴于点，，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为第二象限抛物线上一点，连接、，交轴于点，过点做轴的垂线，垂足为点，过点做直线轴，在轴上方直线上取一点，连接，使，连接交轴于点，当时，求线段的长；

（3）在（2）的条件下，点为第二象限抛物线上的一点，连接，过点做于点，连接，线段、分别交线段于点、，当时，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）

【解析】

(1)令，求出y的值，即可求出C点坐标，根据，可求出B点坐标，把A、B点坐标代入解析式，即可求a、b的值，从而求出解析式；

（2）设，表示出，，从而求出，从而推出，通过，列出关于m的方程，解方程求出m的值，即可求出PD的长；

（3）过做交轴于，延长交延长线于，过做，连接并连延长交轴于．证明，，通过相似三角形的性质可求出，从而推出，设，通过，可求出n的值，即可求出，即可求出解析式为，将与抛物线解析式联立，解出x的值，从而求出Q的坐标，利用勾股定理可求.

（1）对于令，

∴，

∴，

∴，

将、代入

∴，解得

∴抛物线的解析式为

（2）如图；

设

轴

∴，，

∴

，

∴

∴

，

∴

，

∴

，

∴

∴

∴，

∴，

∴

（3）过做交轴于，延长交延长线于，过做，连接并连延长交轴于，过Q点 作QP1⊥PC，交PC于点P1.

，

又，

，

，

，

设

解得，，（舍）

，

∴解析式为

将与抛物线解析式联立

解得，（与点重合舍掉），

∵，

∵，

∴PC∥x轴，

∵QP1⊥PC，

∴在Rt△PP1Q中，PP1= ，QP1=

利用勾股定理得：