题目内容
如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC是菱形，点B的坐标是（4，0），∠AOB=60°，点P从点A开始沿AC以每秒1个单位长度向点C移动，同时点Q从点O以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿OB向右移动，设t秒后，PQ交OC于点R．（1）设a=2，t为何值时，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的
；（2）设a=2，OR=
，求t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；（3）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形与以O、B、C为顶点的三角形相似（只写答案，不必说理）．
【答案】分析：（1）作AD⊥OB于D，根据等量关系S四边形APQO=
S菱形AOBC列出方程，求出t的值；
（2）作CH⊥x轴于H，菱形的性质得△OQR∽△CPR，得出比例式，求出t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
（3）根据相似三角形的性质得当a=1时，△ORQ∽△OBC．
解答：解：（1）作AD⊥OB于D，
在Rt△AOD中，OA=4，∠AOD=60°，Sin60°=
，
，
∵S梯形APQO=
，
∴当a=2时，S梯形APQO=
．
∴由S梯形APQO=
S菱形AOBC=
．
∴
．
（2）作CH⊥x轴于H，
在Rt△CBH中，BC=OB=4，∠CBH=∠AOB=60°，
∴cos60°=
．
∴BH=4×
=2，sin60°=
．
∴CH=4×
．
在Rt△OCH中，由勾股定理得，OC=
，
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，
∴
．
另一方面，
当a=2时，OQ=at=2t，PC=4-t，RC=OC-OR=
，
∴
=
，
∴t=1，解得P（3，2
），Q（2，0）．
∴解析式为
．
（3）当a=1时，△ORQ∽△OBC，理由如下：
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，得
，
∴OR=
．
∴当
，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OBC．
此时，
得
，
所以at-t=0，t（a-1）=0，
∴t=0（舍去）．
∵a-1=0，
∴a=1．
当
，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OCB．
即
，
解得：at-t=8，
a=1+
．
点评：本题考查了一次函数和实际相结合的问题，注意菱形，梯形的性质及相似三角形的性质的应用．
S菱形AOBC列出方程，求出t的值；（2）作CH⊥x轴于H，菱形的性质得△OQR∽△CPR，得出比例式，求出t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
（3）根据相似三角形的性质得当a=1时，△ORQ∽△OBC．
解答：解：（1）作AD⊥OB于D，
在Rt△AOD中，OA=4，∠AOD=60°，Sin60°=
，，∵S梯形APQO=
，∴当a=2时，S梯形APQO=
．∴由S梯形APQO=
S菱形AOBC=．∴
．（2）作CH⊥x轴于H，
在Rt△CBH中，BC=OB=4，∠CBH=∠AOB=60°，
∴cos60°=
．∴BH=4×
=2，sin60°=．∴CH=4×
．在Rt△OCH中，由勾股定理得，OC=
，∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，
∴
．另一方面，
当a=2时，OQ=at=2t，PC=4-t，RC=OC-OR=
，∴
=，∴t=1，解得P（3，2
），Q（2，0）．∴解析式为
．（3）当a=1时，△ORQ∽△OBC，理由如下：
∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，得
，∴OR=
．∴当
，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OBC．此时，
得，所以at-t=0，t（a-1）=0，
∴t=0（舍去）．
∵a-1=0，
∴a=1．
当
，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OCB．即
，解得：at-t=8，
a=1+
．点评：本题考查了一次函数和实际相结合的问题，注意菱形，梯形的性质及相似三角形的性质的应用．
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