Question

7．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥OF分别交AB、BC于点E、F．求证：BE+BF=AD．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得OB=OC，∠OCB=∠OBA=45°，∠BOC=90°，结合条件OE⊥OF得到∠BOE=∠COF，进而证明△OEB≌△OFC，即可得到BE=CF，于是结论得证．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OCB=∠OBA=45°，∠BOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠BOF+∠COF=∠BOE+∠BOF，
∴∠BOE=∠COF，
在△OEB和△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCB=∠OBA=45°}\\{OC=OB}\\{∠BOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC，
∴BE=CF，
∴BF+BE=BC，
∴BE+BF=AD．

点评 本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是证明△OEB≌△OFC，此题难度不大．