Question

【题目】如图，直线m：y＝kx（k＞0）与直线n：相交于点C，点A、B为直线n与坐标轴的交点，∠COA＝60°，点P从O点出发沿线段OC向点C匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q从点A出发沿线段AO向点O匀速运动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t秒．

（1）k＝　 　；

（2）记△POQ的面积为S，求t为何值时S取得最大值；

（3）当△POQ的面积最大时，以PQ为直径的圆与直线n有怎样的位置关系，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝；（2）当t＝时，S有最大值；（3）直线AB与以PQ为直径的圆O相离，理由详见解析．

【解析】

（1）依据k＝tan∠COA进行求解即可；

（2）如图1所示：过点P作PD⊥OA，垂足为D．由锐角三角函数的定义和特殊锐角三角函数值可求得PD＝ ，然后利用三角形的面积公式列出关系式，最后利用配方法求得三角形面积最大时t的值即可；

（3）如图2所示：过点P作PD⊥OA垂足为D，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E．首先证明四边形，四边形OPCE为矩形，然后求得d和r的值即可．

（1）k＝tan∠COA＝tan60°＝．

（2）如图1所示：过点P作PD⊥OA，垂足为D．

令直线n：y＝﹣ x+2的y＝0得：﹣x+2＝0，解得x＝6，

∴OA＝6．

∵∠COA＝60°，PD⊥OA，

∴ ，即．

∴PD＝ ．

∴当t＝ 时，S有最大值．

（3）如图2所示：过点P作PD⊥OA垂足为D，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E．

令直线n：y＝﹣ x+2的x＝0得：y＝2 ．

∴OB＝2．

∵tan∠BAO＝ ，

∴∠BAO＝30°．

∴∠ABO＝60°．

∴OC＝OBsin60°＝2 ＝3．

∵∠COA＝60°，

∴∠BOC＝30°．

∴∠BOC+∠OBC＝90°．

∴∠OCA＝90°．

当t＝时，OD＝ ＝，PD＝．DQ＝3﹣ ＝ ．

∴tan∠PQO＝．

∴∠PQO＝30°．

∴∠BAO＝∠PQO．

∴PQ∥AB，

∴∠CPQ+∠PCA＝180°．

∴∠CPQ＝180°﹣90°＝90°．

∴∠ECP＝∠CPO＝∠OEC＝90°．

∴四边形OPCE为矩形．

∴d＝OE＝PC＝OC﹣OP＝3﹣＝．

PQ＝OQsin60°＝3×．

∴r＝PO＝．

∵d＞r．

∴直线AB与以PQ为直径的圆O相离．