Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF．将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是$\frac{49}{5}$≤l＜13．．

Answer 1

分析 如图，连接DE，作AH⊥BC于H．首先证明GF=DE=$\frac{5}{2}$，要求四边形MNFG周长的取值范围，只要求出MG的最大值和最小值即可．

解答 解：如图，连接DE，作AH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•AB•AC=$\frac{1}{2}$•BC•AH，
∴AH=$\frac{12}{5}$，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥CB，DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∵DG∥EF，
∴四边形DGFE是平行四边形，
∴GF=DE=$\frac{5}{2}$，
由题意MN∥BC，GM∥FN，
∴四边形MNFG是平行四边形，
∴当MG=NF=AH时，可得四边形MNFG周长的最小值=2×$\frac{12}{5}$+2×$\frac{5}{2}$=$\frac{49}{5}$，
当G与B重合时可得周长的最大值为13，
∵G不与B重合，
∴$\frac{49}{5}$≤l＜13．
故答案为$\frac{49}{5}$≤l＜13．

点评 本题考查旋转变换、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会取特殊点解决问题，属于中考常考题型．