Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF=S△ABF，其中正确的结论有________个。

Answer 1

【答案】4

【解析】试题解析：过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵AE=AD=BC，

∴，

∴CF=2AF，故②正确，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF=DC，故③正确；

∵tan∠CAD=，

而CD与AD的大小不知道，

∴tan∠CAD的值无法判断，故④错误；

∵△AEF∽△CBF，

∴，

∴S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD

∴S△AEF=S矩形ABCD，

又∵S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD，

∴S四边形CDEF=S△ABF，故⑤正确；

故有4个正确