题目内容

如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON= $数学公式$ AB，证明：OM= $数学公式$ CD．

证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，
在直角△CON中，CN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=2 $\text{[math]}$ ，
∵OM⊥AB，
∴AM= $\text{[math]}$ AB=x，
在△AOM中，OM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OM= $\text{[math]}$ CD．
分析：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．
点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解垂．