Question

如图，在边长为1的正方形中，分别以四个顶点为圆心，作半径为1的圆弧，则图中阴影部分的面积是

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：计算题

分析：图中阴影部分可分为四个相同的弓形和一个小正方形，先求出弓形AB的面积过A点作边长为1的正方形的一边的垂线，垂足为Q，作AH⊥OB于H，由OQ=

1

2

，OA=1则∠OAQ=30°，根据直线平行内错角相等得到∠1=30°，同理可得∠2=30°，得到∠AOB=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AH=

1

2

OA=

1

2

，OH=

3

AH=

3

2

，再根据三角形面积公式和扇形的面积公式可计算出S_△OAB=

1

4

，S_扇形OAB=

π

12

，则S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=

π

12

-

1

4

，然后根据勾股定理计算出AB²=BH²+AH²=（1-

3

2

）²+（

1

2

）²=2-

3

，则可得到S_{正方形ABCD}=2-

3

，最后利用图中阴影部分的面积=4S_弓形AB+S_{正方形ABCD}进行计算即可．

解答：解：图中阴影部分可分为四个相同的弓形和正方形ABCD，如图，
如图，过A点作边长为1的正方形的一边的垂线，垂足为Q，作AH⊥OB于H，
∵OQ=

1

2

，OA=1，
∴∠OAQ=30°，
∴∠1=30°，
同理可得∠2=30°，
∴∠AOB=30°，
∴AH=

1

2

OA=

1

2

，OH=

3

AH=

3

2

，
∴S_△OAB=

1

2

×AH×OB=

1

4

，S_扇形OAB=

30•π•12

360

=

π

12

，
∴S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=

π

12

-

1

4

，
在Rt△ABH中，BH=OB-OH=1-

3

2

，AH=

1

2

，
∴AB²=BH²+AH²=（1-

3

2

）²+（

1

2

）²=2-

3

，
∴S_{正方形ABCD}=2-

3

，
∴图中阴影部分的面积=4S_弓形AB+S_{正方形ABCD}=4×（

π

12

-

1

4

）+2-

3

=1-

3

+

π

3

．
故答案为1-

3

+

π

3

．

点评：本题考查了面积及等积变换：把不规则的几何图形的面积计算问题转化为规则几何图形的面积的和或差；掌握扇形的面积公式以及含30°的直角三角形三边的关系．