题目内容
如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在X轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，
，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为 ，如果△AEF是等腰三角形时．将△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积 ．
【答案】分析：首先过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA=4
，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，再连接OD，证△ODE∽△AEF，通过得到的比例线段，即可得出y、x的函数关系式；
若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：
①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；
②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；
③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．
解答：
解：过B作BM⊥x轴于M；
Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=
；
∴BC=OA-AM=4
-
=
，CD=BC-BD=
；
连接OD；
如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴
，即：
，
∴y与x的解析式为：
，
当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
B在A′F上（A′F⊥EF）
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
（也可用S阴影=S△A'EF-S△A'BD），
②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴
，
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．
∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，
∴AE=AF=OA-OE=
，
过F作FH⊥AE于H，则
，
∴
，
综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为
或1或
．
故答案为：
，
或1或
．
点评：此题主要考查了梯形、平行四边形、等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定和性质；同时还考查了分类讨论的数学思想．
，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，再连接OD，证△ODE∽△AEF，通过得到的比例线段，即可得出y、x的函数关系式；若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：
①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；
②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；
③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．
解答：
解：过B作BM⊥x轴于M；Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM=
；∴BC=OA-AM=4
-=，CD=BC-BD=；连接OD；
如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴
，即：，∴y与x的解析式为：
，当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
B在A′F上（A′F⊥EF）
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
∵
，∴
，，∴
，∴
；（也可用S阴影=S△A'EF-S△A'BD），
②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴
，③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．
∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，
∴AE=AF=OA-OE=
，过F作FH⊥AE于H，则
，∴
，综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为
或1或．故答案为：
，或1或．点评：此题主要考查了梯形、平行四边形、等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定和性质；同时还考查了分类讨论的数学思想．
练习册系列答案
相关题目
如图，直角梯形OABF中，∠OAB=∠B=90°，A点在x轴上，双曲线y=
如图，直角梯形OABC中，∠OAB=∠B=90°，A点在x轴上，双曲线y=
是BC上一点，BD=