Question

【题目】如图，已知，以为直径的交边于点，与相切．

（1）若，求证：；

（2）点是上一点，点两点在的异侧．若，，，求半径的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5

【解析】

（1）连接CE，依据题意和圆周角定理求得△ABC是等腰直角三角形，然后根据圆周角定理和等腰三角形三线合一的性质求解即可；

（2）连接DO并延长，交CE于点M，交于点G，利用三角形外角的性质求得，从而判定DG∥AE，得到，从而根据垂径定理可得EM=CM，根据三角形中位线定理可求，然后设圆的半径为x，根据勾股定理列方程求解即可．

解：连接CE

∵与相切

∴∠ACB=90°

∵

∴

∴CA=CB

又∵以为直径的交边于点，

∴∠CEA=90°

∴根据等腰三角形三线合一的性质可知，CE是底边AB的中线

∴AE=BE

（2）连接DO并延长，交CE于点M，交于点G

由（1）可知，∠CEA=90°

∵

∴DG∥AE

∴

∴EM=CM

∴在△AEC中，

设圆的半径为x，在Rt△OMC中，

在Rt△DMC中，

∴，解得或（负值舍去）

∴半径的长为5．