Question

5．如图，一次函数y=k₁x+b（k₁≠0）与反比例函数y=$\frac{k_2}{x}$（k₂≠0）的图象交于点A（-1，2），B（m，-1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n＞0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分三种情形讨论①当PA=PB时，可得（n+1）²+4=（n-2）²+1．②当AP=AB时，可得2²+（n+1）²=（3$\sqrt{2}$）²．③当BP=BA时，可得1²+（n-2）²=（3$\sqrt{2}$）²．分别解方程即可解决问题；

解答 解：（1）把A（-1，2）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$，得到k₂=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$．
∵B（m，-1）在Y=-$\frac{2}{x}$上，
∴m=2，
由题意$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+b=2}\\{2{k}_{1}+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-x+1．

（2）∵A（-1，2），B（2，-1），
∴AB=3$\sqrt{2}$，
①当PA=PB时，（n+1）²+4=（n-2）²+1，
∴n=0，
∵n＞0，
∴n=0不合题意舍弃．
②当AP=AB时，2²+（n+1）²=（3$\sqrt{2}$）²，
∵n＞0，
∴n=-1+$\sqrt{14}$．
③当BP=BA时，1²+（n-2）²=（3$\sqrt{2}$）²，
∵n＞0，
∴n=2+$\sqrt{17}$．
综上所述，n=-1+$\sqrt{14}$或2+$\sqrt{17}$．

点评 本题考查反比例函数综合题．一次函数的性质、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用 分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．