Question

15．如图，已知直线y=$\frac{2}{5}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax²+4ax+b经过A、C两点，与x轴交于另-点B．
（1）求抛物线的解析式：
（2）点Q在抛物线上，且S_△AQC=S_△BQC，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出A、C两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）①分点Q在x轴上方时，根据平行线间的距离相等可得当CQ∥AB时，△AQC和△BQC面积相等，然后根据点Q与点C的纵坐标相等，利用抛物线解析式列式计算即可得解；②点Q在x轴下方时，设CQ与x轴相交于点D，根据△AQC和△BQC面积相等可知AD=BD，然后求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，与抛物线联立求解即可得到点Q的坐标．

解答 解：（1）∵当y=0时，则有$\frac{2}{5}$x+2=0，解得x=-5，
∴点A的坐标为（-5，0），
∵当x=0时，则有y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∵抛物线y=ax²+4ax+b经过A、C两点，把（0，2）（-5，0）代入得
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{25a-20a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线为y=-$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+2．
（2）①当Q在x轴上方时（如图1），
△ACQ和△BCQ同底，若它们的面积相等，则A、B到直线CQ的距离相等，即CQ∥AB；
∵抛物线的对称轴为x=-2，
∴点Q坐标为（-4，2）；
②当Q在x轴下方时（如图2），
，设CQ与x轴交于点D，若△AQC和△BQC面积相等，则有AD=BD
令y=0，则-$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+2=0，解得x₁=-5，x₂=1，即AB=6
∴点D的坐标为（-2，0）
设直线CD的解析式为y=kx+b，把（0，2）（-2，0）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直线CD的解析式为y=x+2，
∵点Q在直线CD与抛物线上，
∴x+2=-$\frac{2}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+2，解得x₁=0，x₂=-$\frac{13}{2}$，
∴点Q坐标为（-$\frac{13}{2}$，-$\frac{9}{2}$）；
∴点Q的坐标为（-4，2）或（-$\frac{13}{2}$，-$\frac{9}{2}$）

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，解题的关键是分类讨论点Q在抛物线上的不同位置，结合形成的三角形分析面积相等需具备的条件，数形结合思想在这里得到充分体现．