Question

【题目】已知反比例函数y=（m为常数）的图象在一、三象限．

（1）求m的取值范围；

（2）如图，若该反比例函数的图象经过ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（﹣2，0）．

①求出函数解析式；

②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为 ；若以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 个．

Answer 1

【答案】（1）m＜；

（2）①反比例函数解析式为y=；

②P点的坐标为（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；4

【解析】

试题分析：（1）根据反比例函数的性质得1﹣2m＞0，然后解不等式得到m的取值范围；

（2）①根据平行四边形的性质得AD∥OB，AD=OB=2，易得D点坐标为（2，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得1﹣2m=6，则反比例函数解析式为y=；

②根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点D关于原点的对称点P满足OP=OD，则此时P点坐标为（﹣2，﹣3）；再根据反比例函数y=的图象关于直线y=x对称，可得点D（2，3）关于直线y=x对称点P满足OP=OD，此时P点坐标为（3，2），易得点（3，2）关于原点的对称点P也满足OP=OD，此时P点坐标为（﹣3，﹣2）；由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，所以以D点为顶点可画出点P1，P2；以O点顶点可画出点P3，P4，如图．

试题解析：（1）根据题意得1﹣2m＞0，

解得m＜；

（2）①∵四边形ABOD为平行四边形，

∴AD∥OB，AD=OB=2，

又∵A点坐标为（0，3），

∴D点坐标为（2，3），

∴1﹣2m=2×3=6，

∴反比例函数解析式为y=；

②∵反比例函数y=的图象关于原点中心对称，

∴当点P与点D关于原点对称，则OD=OP，此时P点坐标为（﹣2，﹣3），

∵反比例函数y=的图象关于直线y=x对称，

∴点P与点D（2，3）关于直线y=x对称时满足OP=OD，

此时P点坐标为（3，2），

点（3，2）关于原点的对称点也满足OP=OD，

此时P点坐标为（﹣3，﹣2），

综上所述，P点的坐标为（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；

由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1，P2，则点P1，P2满足条件；以O点为圆心，OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3，P4，则点P3，P4也满足条件，如图，作线段OD的垂直平分线，与反比例函数的图象无交点．