题目内容

精英家教网已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．
（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+
5
4
m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；
（2）若AN=
15
8
，DN=
9
8
，求DE的长；
（3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个实数根，求BC的长．
分析：（1）根据根的判别式△=0，判断出AM=AN，
（2）判断出△ADC∽△BDA，△ADC∽△BDA，利用相似三角形的性质解答，
（3）根据面积比等于相似比的平方解答．
解答：（1）证明：△=（-2m）2-4（n2-mn+
5
4
m2）=-（m-2n）2≥0，
∴（m-2n）2≤0，
∴m-2n=0，
∴△=0
∴一元二次方程x2-2mx+n2-mn+
5
4
m2=0有两个相等实根，
∴AM=AN．

（2）解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∠DAC=∠DBA，
∴△ADC∽△BDA，
∴
AD
BD
=
DC
AD
，
∴AD2=BD•DC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBD=90°，
∵∠E+∠EBD=90°，
∴∠E=∠FCB，
∵∠NDC=∠EDB=90°，
∴△EBD∽△CND，
∴△ADC∽△BDA，
∴
ED
CD
=
BD
DN
，
∴BD•DC=ED•DN，
∴AD2=ED•DN，
∵AN=
15
8
，DN=
9
8
，
∴AD=DN+AN=3，
∴32=
9
8
DE，
∴DE=8．

（3）解：由（1）知AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM
∵∠AMN+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠FBM
由（2）可知∠E=∠FCB，
∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE
过点M作MG⊥AN于点G
由MG∥BD得
MG
BD
=
AM
AB
，
∴
S△AMN
S△ABE
=
1
2
AN•MG
1
2
AE•BD
=
AM2
AB2
=
9
64
，精英家教网
∴
AM
AB
=
3
8
，
∴
AN
AE
=
AM
AB
=
3
8
，
过点A作AH⊥EF于点H，
由AH∥FN，
得
EH
HF
=
AE
AN
=
8
3
，
设EH=8a，则FH=3a，
∵AE=AB，
∴BH=HE=8a，
∴BF=5a，EF=11a，
由根与系数关系得，
BF+EF=16a=
16
5
k
BF•EF=55a2=2k2+1
，
解得：a=±
5
5
，
∵a＞0，a=
5
5
，
∴BF=
5
，
由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，
∴
AC
BC
=
AN
BM
=
3
5

设AC=3b，则BC=5b
在Rt△ABC中，有AB=4b．
∴AM=
3
2
b．
在Rt△ACM中，有MC=
3
5
2
b
由△ACM∽△FCB得
BC
BF
=
CM
AM
，∴
BC
5
=
3
5
2
b
3
2
b
，
∴BC=5．
点评：此题综合性强，难度大，有利于培养同学们对知识综合运用的能力，命题立意：此题综合考查一元二次方程的根与系数的关系，三角形相似的判定及性质的应用．
练习册系列答案
相关题目
25、已知，如图，AD为△ABC的角平分线，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．
精英家教网已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M．求证：AM=
12
（AB+AC）．
已知，如图：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E．求证：AB=CE．

已知：如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M. 求证：AM=(AB+AC) 。

 

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