Question

通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：

（1）sad60°=            .

（2）对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是                   .

（3）如图②，已知sinA，其中∠A为锐角，试求sadA的值.

Answer 1

（1）根据正对定义，

当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，

则三角形为等边三角形，则sad60°==1．故答案为1．

（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，

当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．

于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．

故答案为0＜sadA＜2．   

（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．

在AB上取点D，使AD=AC， 

作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，

则AD=AC==4k，    

又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．∴DH=ADsin∠A=k，

AH==k． 

则在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k．

于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．

由正对的定义可得：sadA==，即sadα=．