Question

如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B点．
（1）若弦AD∥OC，求证：DC是⊙O的切线；
（2）若DC是⊙O的切线，求证：OC∥AD．

Answer 1

分析：（1）连结OD，利用平行线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠A，利用∠A=∠2得到∠1=∠3，再根据“SAS”判断△OBC≌△ODC，则∠OBC=∠ODC；然后由BC切⊙O于B点得∠OBC=90°，所以∠ODC=90°，即OD⊥DC，于是可根据切线的判定定理得DC是⊙O的切线；
（2）连结OD，由BC切⊙O于B点，DC是⊙O的切线，根据切线的性质得∠OBC=∠ODC=90°，易证得Rt△OBC≌Rt△ODC，则∠3=∠1，再根据三角形外角性质得∠1+∠3=∠A+∠2，所以∠1=∠2，则根据平行线的判定即可得到OC∥AD．

解答：证明：（1）连结OD，如图，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠2，∠3=∠A，
而OA=OD，
∴∠A=∠2，
∴∠1=∠3，
在△OBC和△ODC中，

OB=OD ∠3=∠1 OC=OC

，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
∵BC切⊙O于B点，
∴AB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；

（2）连结OD，
∵BC切⊙O于B点，DC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，OD⊥DC，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
在Rt△OBC和Rt△ODC中

OB=OD OC=OC

∴Rt△OBC≌Rt△ODC（HL），
∴∠3=∠1，
∵∠BOD=∠1+∠3=∠A+∠2，
∴∠1=∠2，
∴OC∥AD．

点评：本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行线的判定与性质和三角形全等的判定与性质．