Question

【题目】如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的横纵坐标之比为3：4，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，且与BC交于点F．

（1）若OA＝10，求反比例函数解析式；

（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x＞0）（2）OA=，点C的坐标（，）．

【解析】

（1）过点A作AH⊥OB于H，根据已知条件得到sin∠AOB＝，OA＝10，求得AH＝8，OH＝6，于是得到结论；

（2）设OA＝a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，根据平行四边形的性质得到OH＝BN，根据已知条件得到AH＝a，OH＝a，于是得到S△AOH＝×aa＝a2，求得S△OBF＝6，得到S△BMF＝BMFM＝×a× a＝ a2，根据点A，F都在y＝ 的图象上，得到S△AOH＝S△FOM＝ k，列方程即可得到结论．

解：（1）过点A作AH⊥OB于H，

∵点A的横纵坐标之比为3：4，

∴sin∠AOB＝，OA＝10，

∴AH＝8，OH＝6，

∴A点坐标为（68），根据题意得：

8＝，可得：k＝48，

∴反比例函数解析式：y＝（x＞0）；

（2）设OA＝a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，

由平行四边形性质可证得OH＝BN，

∵点A的横纵坐标之比为3：4，

∴sin∠AOB＝，

∴AH＝a，OH＝a，

∴S△AOH＝×aa＝a2，

∵S△AOF＝12，

∴S平行四边形AOBC＝24，

∵F为BC的中点，

∴S△OBF＝6，

∵BF＝a，∠FBM＝∠AOB，

∴FM＝a，BM＝a，

∴S△BMF＝BMFM＝×a× a＝ a2，

∴S△FOM＝S△OBF+S△BMF＝6+a2，

∵点A，F都在y＝ 的图象上，

∴S△AOH＝S△FOM＝k，

∴ a2＝6+a2，

∴a＝，

∴OA＝，

∴AH＝，OH＝2，

∵S平行四边形AOBC＝OBAH＝24，

∴OB＝AC＝3，

∴ON＝OB+OH＝5，

∴C（5，）．