题目内容
【题目】如图，在白纸上画两条长度均为
且夹角为
的线段
、
，然后你把一支长度也为的铅笔
放在线段上，将这支铅笔以线段上的一点
为旋转中心旋转顺时针旋转一周。
（1）若与
重合，当旋转角为______时，这支铅笔与线段、围成的三角形是等腰三角形。
（2）点从逐渐向
移动，记
：
①若
，当旋转角为、______、______、______、
、______时这支铅笔与线段、共围成6个等腰三角形。
②当这支铅笔与线段、正好围成5个等腰三角形时，求
的取值范围。
③当这支铅笔与线段、正好围成3个等腰三角形时，直接写出的取值范围。
【答案】（1）
或
；（2）①、
、
、
；②
；③
【解析】
(1)运用旋转的性质作答即可;
(2)①对旋转的各个位置进行讨论，即可完成解答; 当旋转
，，时，
这段与
、
三次围成等腰三角形
，这样正好围成6个等于三角形分类讨论即可；
解：（1）当已知的30°角为底角，那么旋转30°即可；
当已知的30°角为顶角，那么旋转75°即可；
故答案为：或.
（2）①t=1，即P为AB的中点:
当已知的30°角为底角，那么30°、120°、210°、300°即可；
当已知的30°角为顶角,那么旋转75°、255°即可；
故答案为:、、、
②如图1，
位于中点时，
分成了
、两段，以点为旋转中心将其旋转，，时，这段与、三次围成等腰三角形
，当旋转，，时这段与、三次围成等腰三角形，这样正好围成6个等于三角形，此时
.
如图2，当旋转时，当（起初与
重合的）正好与
等长，即
时，当旋转，，时较长的这段与、三次围成等腰三角形，当旋转，时较短的这段与、两次围成等腰三角形，
如图，
，
，
，令
，则
，
，易知
，
，
，
此时可求得
，
，
，
故旋转形成5个等腰三角形时，.
③如图：
当
时，3个 ，
当时，4个 ，
可求得
<.
注：时可这样求解，如下图
在
上取
，使
，则
，
，令
，
则
，
，
，
，
化成
亦可.
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