Question

13．如图，等边△ABC中，D、E分别为BC、AC上一点，且BD=CE．
（1）求证：△BMD∽△ABD；
（2）过A作AN⊥BE于N，若BD=$\frac{3}{2}$，AN=2$\sqrt{3}$，求DM．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=60°，推出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠CBE，即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠AMN=∠ABM+∠BAD=∠ABM+∠MBD，求得∠AMN=∠ABC=60°，于是得到AM=$\frac{AN}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，根据相似三角形的性质得到$\frac{BD}{AD}=\frac{DM}{BD}$，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠BDM=∠ADB，
∴△BMD∽△ABD；

（2）解：∵∠AMN=∠ABM+∠BAD=∠ABM+∠MBD，
∴∠AMN=∠ABC=60°，
∵AN⊥BE，
∴∠ANM=90°，
∴AM=$\frac{AN}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∵△BMD∽△ABD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{DM}{BD}$，即$\frac{\frac{3}{2}}{4+DM}=\frac{DM}{\frac{3}{2}}$，
∴DM=$\frac{1}{2}$，（负值舍去）．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．