题目内容
如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA
=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）设∠AOQ=α，若cosα=
，OQ=15，求AB的长．
=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）设∠AOQ=α，若cosα=
| 4 |
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（1）证明：连接OP，与AB交于点C．
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，
∴
=
，即AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）连OP并交AB于点C，
在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=
，
∴OA=12，AQ=9，
∴QB=27；
∵
=
，
∴PQ=45，即PA=36，
∴OP=12
；
∵∠APO=∠APO，∠PAO=∠PCA=90°
∴△PAC∽△POA，
∴
=
，
∴PA•OA=OP•AC，即36×12=12
•AC，
∴AC=
，故AB=
．
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，
∴
| AQ |
| BQ |
| OQ |
| PQ |
（3）连OP并交AB于点C，
在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=
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∴OA=12，AQ=9，
∴QB=27；
∵
| AQ |
| BQ |
| OQ |
| PQ |
∴PQ=45，即PA=36，
∴OP=12
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∵∠APO=∠APO，∠PAO=∠PCA=90°
∴△PAC∽△POA，
∴
| PA |
| PO |
| AC |
| AO |
∴PA•OA=OP•AC，即36×12=12
| 10 |
∴AC=
| 18 |
| 5 |
| 10 |
| 36 |
| 5 |
| 10 |
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