Question

二次函数y=-x²+Ax+B的图象与x轴交于A（-

1

2

，0）、B（2，0），且与y轴交于C．
（1）求函数解析式，判断△ABC形状；
（2）设P是x轴上方抛物线上动点，过P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在P，使的以P，A，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A、B坐标代入二次函数解析式，求出A和B的值，求出解析式和点C坐标，求出AB、BC、AC的长度，判断△ABC的形状；
（2）设点P的横坐标为m，分别表示出PM、AM的长度，根据三角形的相似可得：AC：BC=PM：AM，代入求出m的值，即可得出点P的坐标．

解答：解：（1）将点A、B坐标代入二次函数解析式得，

- 1 4 - 1 2 A+B=0 -4+2A+B=0

，
解得：

A= 3 2 B=1

，
则函数解析式为：y=-x²+

3

2

x+1，
则点C坐标为（0，1），
则AC²=1+

1

4

=

5

4

，BC²=1+4=5，
AB²=（

1

2

+2）²=

25

4

，
∵AC²+BC²=

5

4

+5=

25

4

=AB²，
∴△ABC为直角三角形；

（2）设点P的横坐标为m，
则点P纵坐标为：-m²+

3

2

m+1，
则PM=-m²+

3

2

m+1，AM=m+

1

2

，
当△PAM∽△ABC时，
则有AC：BC=PM：AM，
即

5 4

5

=

-m2+ 3 2 m+1

m+ 1 2

，
m+

1

2

=2（-m²+

3

2

m+1），
解得：m₁=-

1

2

，m₂=

3

2

，
当m=-

1

2

时，纵坐标为0，与点A重合，舍去，
当m=

3

2

时，纵坐标为1；
当△APM∽△ABC时，
有AC：BC=AM：PM，
即

1

2

=

m+ 1 2

-m2+ 3 2 m+1

，
解得：m=0或m=-

1

2

（舍去），
当横坐标为0时，纵坐标为1，
综上所述，符合题意得点P坐标为（

3

2

，1），（0，1）．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、勾股定理以及相似三角形的性质等方面知识，涉及考点较多，难度较大，分情况讨论直角三角形相似的两种情况是解答本题的易错点．