Question

如图，数轴上有A，B，C，D四个点，分别对应的数为a，b，c，d，且满足a、b是方程|x+9|=1的两个解（a＜b），且（c-16）²与|d-20|互为相反数．

（1）求a、b、c、d的值；
（2）若A、B两点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点以2个单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，A，B两点都运动在线段CD上（不与C，D两个端点重合），若BD=2AC，求t的值；

（3）在（2）的条件下，A、B、C、D四个点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使B与C的距离是A与D的距离的4倍？若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一元一次方程的应用,数轴

专题：应用题

分析：（1）由（c-16）²与|d-20|互为相反数，求出c与d的值，求出方程|x+9|=1的两个解确定出a与b的值；
（2）由题意可知：要使A、B两点都运动在线段CD上，则必须满足条件：A在C的右侧，B在D的左侧，根据BD=2AC，由此可得出t的值；
（3）分两种情况，①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，②点A、点B均在点D的右边，然后分别表示出BC、AD的长度，建立方程，求解即可．

解答：解：（1）∵a，b是方程|x+9|=1的两根（a＜b），
解得：a=-10，b=-8，
∵（c-16）²与|d-20|互为相反数，
∵（c-16）²≥0，|d-20|≥0，
∴c-16=0，d-20=0，
可得：c=16，d=20；
（2）由（1）知：AB=2；CD=4；
当BD=2AC时，AC=

2

3

；BD=

4

3

，
根据题意有：6t-2t=26+

2

3

，
解得：t=

20

3

．
故t的值是

20

3

．
（3）经时间t时，A的值为6t-10，B的值为6t-8，
C的值为16-2t，D的值为20-2t，
要使A、B两点都运动在线段CD上，
则必须满足条件：A在C的右侧，B在D的左侧，
列出不等式：

6t-10＞16-2t 6t-8＜20-2t

，
解得：

13

4

＜t＜

7

2

，
故t的范围是：

13

4

＜t＜

7

2

．
①点A运动到点D的左边，点B运动到点D的右边，此时

7

2

＜t≤

15

4

，
A的值为6t-10，B的值为6t-8，C的值为16-2t，D的值为20-2t，
AD=20-2t-（6t-10）=30-8t，BC=6t-8-（16-2t）=8t-24，
由题意得：8t-24=4（30-8t），
解得：t=

18

5

，
∵

7

2

＜t≤

15

4

，
∴t不存在．
②点A、点B均在点D的右边，此时t＞

15

4

，
A的值为6t-10，B的值为6t-8，C的值为16-2t，D的值为20-2t，
AD=6t-10-（20-2t）=8t-30，BC=6t-8-（16-2t）=8t-24，
由题意得，8t-24=4（8t-30），
解得：t=4，满足t＞

15

4

．
综上可得存在时间t=4，使B与C的距离是A与D的距离的4倍．

点评：本题考查了一元一次方程的应用，涉及了动点问题的计算，解答本题关键是表示出运动后四个点的坐标，注意分类讨论思想的运用．