Question

【题目】请用图形变换（对称、平移或旋转）解决下列各题：

（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，若P是边AD上的任意一点，则△BPC周长的最小值为　 ．

（2）如图2，已知M（0，1）、P（2+，3）、E（a，0）、F（a+1，0），问a为何值时，四边形PMEF的周长最小？

（3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PB＝2，PC＝3，∠BPC＝150°，M、N为边AB、AC上的动点，且AM＝AN，请直接写出PM+PN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）a＝时，四边形PMEF周长最小；（3）PM+PN的最小值为．

【解析】

（1）如图1（见解析），先根据轴对称的性质、两点之间线段最短得出周长最小时，点P的位置，再根据矩形的性质、直角三角形的性质求出CD的长，从而可得的长，然后利用勾股定理可得的长，由此即可得出答案；

（2）如图2（见解析），要使四边形PMEF的周长最小，只需最小；先利用平移、轴对称的性质得出，再根据两点之间线段最短得出最小时，点F的位置，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得a的值；

（3）如图（见解析），先将绕点C顺时针旋转，利用旋转的性质、勾股定理求出PA的长，再将绕点A逆时针旋转，根据旋转的性质、两点之间线段最短确认最小时，点N的位置，然后根据等边三角形的性质即可得出答案．

（1）如图1，作点C关于直线AD的对称点，连接交AD于，则

由轴对称的性质、两点之间线段最短可知，此时周长最小，最小值为

作于H

∴四边形ADCH是矩形

在中，

则周长的最小值为

故答案为：；

（2）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，则只要最小，四边形PMEF的周长将取得最小值

如图2，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），连接

则，四边形是平行四边形

作点关于x轴的对称点，连接

则，

由两点之间线段最短得：当点共线时，最小，最小值为

设直线的解析式为

将点代入得

解得

则直线的解析式为

将点代入得

解得

故当时，四边形PMEF周长最小；

（3）如图3﹣1中，将绕点C顺时针旋转得到，连接PE

由旋转的性质得：

是等边三角形

如图3﹣2中，将绕点A逆时针旋转得到，连接PF，交AC于点D

由旋转的性质得：

是等边三角形，

由两点之间线段最短得：当点N与点D重合时，最小，最小值为PF

故的最小值为．