Question

11．抛物线y=a（x-h）²+k与x轴交于A（-1，0），B（7，0）两点，给出以下判断：
①若k=2，则抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{8}$（x-3）²+2
②当x＞3时，y随x的增大而减小
③点P为抛物线上任意一点，使△ABP为等腰三角形的点P至少有3个
④点P为抛物线上任意一点，若使△ABP的面积为12的点P至少有三个，则抛物线的顶点纵坐标k必须满足k≥3．
其中正确的是①③（填序号）．

Answer 1

分析 ①先根据抛物线的对称性，求得h=3，然后将k=2，和点A或点B的坐标代入可求得抛物线的解析式；
②可分为a＞0和a＜0两种情况；
③根据等腰三角形的性质和抛物线的对称性可判断；
④根据a＞0和a＜0两种情况讨论即可．

解答 解：①由抛物线的对称性可知：h=3，将k=2，A（-1，0）代入得：a×（4）²+2=0，
解得：a=$\frac{1}{8}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{8}$（x-3）²+2，故①正确；
②当a＞0，x＞3时，y随x的增大而增大；当a＜0，x＞3时，y随x的增大而减小，故②错误；
③当AP=PB时，点P为抛物线的顶点，当AP=AB时，点P在抛物线上；当BP=BA时，点P也在抛物线，故③正确；
④当a＞0，k≤-3时，使△ABP的面积为12的点P至少有三个；当a＜0，k≥3时，使△ABP的面积为12的点P至少有三个，故④错误．
故答案为：①③．

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点问题，分类讨论是解题的关键．