Question

已知1³=1=

1

4

×1²×2²，1³+2³=9=

1

4

×2²×3²，1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²，…，按照这个规律完成下列问题：
（1）1³+2³+3³+4³+5³=______=

1

4

×______²×______²．
（2）猜想：1³+2³+3³+…+n³=______．
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）11³+12³+31³+14³+15³+16³+…+39³+40³．

Answer 1

（1）1³+2³+3³+4³+5³=225=

1

4

×5²×6²    
（2）猜想：1³+2³+3³+…+n³=

1

4

×n²×（n+1）²        
（3）利用（2）中的结论计算：
11³+12³+31³+14³+15³+16³+…+39³+40³．
原式=1³+2³+3³+…+39³+40³-（1³+2³+3³+…+10³）
=

1

4

×40²×41²-

1

4

×10²×11²                 
=672400-3025
=669375