Question

将抛物线c₁：y=沿x轴翻折，得抛物线c₂，如图所示。
（1）请直接写出抛物线c₂的表达式；
（2）现将抛物线c₁向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c₂向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E。
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2）①令，得：，
则抛物线c₁与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），
∴A（-1-m，0），B（1-m，0），
同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0），
当时，如图①，，
∴，
当时，如图②，，
∴，
∴当或2时，B，D是线段AE的三等分点；
②存在，
理由：连接AN、NE、EM、MA，
依题意可得：，
即M，N关于原点O对称，
∴，
∵，
∴A，E关于原点O对称，
∴，
∴四边形ANEM为平行四边形，
要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足，
即，
∴，
∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形。