Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点．点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C'．

（1）若a=1，求原抛物线的函数表达式；

（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；

（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m=4或m=﹣16；（3）a≥时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形，理由见解析．

【解析】

（1）根据原抛物线中a=1，并且经过，，即可求出原抛物线的函数表达式；

（2）在（1）条件下，连接、，延长，与轴交于点，证明四边形是平行四边形，面积为40，即可求的值；

（3）过点作轴于点，当平行四边形为菱形时，应有，故点在、之间，当时，，得．由二次函数的顶点为，，，可得，，，，进而列出一元二次方程，根据判别式即可求出满足的条件．

解：（1）抛物线中a=1，并且经过，，题意得：，

解得，

原抛物线的函数表达式为：；

（2）连接、，延长，与轴交于点，

二次函数的顶点为，

，

，

直线的解析式为：．

，

抛物线绕点旋转，

，，

四边形是平行四边形，

，

，

，

或；

（3）如图，过点作轴于点，

当平行四边形为菱形时，应有，故点在、之间，

当时，，

，

即．

二次函数的顶点为，，，

，，，，

，

，

△，，

．

所以时，存在点，使得四边形为菱形．