Question

【题目】数学学习小组“陆月辉煌”最近正在进行几何图形组合问题的研究．认真研读以下四个片段，并回答问题．

（片断一）小陆说：将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中，直角顶点与对角线交点O重合，在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系．

如图（1），若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边AB、BC于点M、N，则①OM＋ON=MB＋NB；②．

请你判断他的猜想是否正确？并证明你认为正确的猜想．

（片断二）小月说：将三角板中一个45°角的顶点和正方形的一个顶点重合放置，使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点．

如图（2），若以A为顶点的45°角的两边分别交正方形的边BC、CD于点M、N，交对角线BD于点E、F．我发现：BE2＋DE2=2AE2，只要准确旋转图（2）中的一个三角形就能证明这个结论．

请你写出小月所说的具体的旋转方式：______________________．

（片断三）小辉说：将三角板的一个45°角放置在正方形的外部，同时角的两边恰好经过正方形两个相邻的顶点．

如图（3），设顶点为E的45°角位于正方形的边AD上方，这个角的两边分别经过点B、C，连接EA，ED．那么线段EB、EC、ED也存在确定的数量关系：(EB＋ED)2=2EC2．

请你证明这个结论．

（片断四）小煌说：在图（2）中，作一个过点A、E、F的圆，交正方形的边AB、AD于点G、H，如图（4）所示．你知道线段DH、HG、GB三者之间的关系吗？请直接写出结论：________________．

Answer 1

【答案】【片断一】①错误，②正确，证明见详解；【片断二】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG；【片断三】证明见详解；【片断四】DH+BG=GH．

【解析】

根据四边形ABCD是正方形，可以得出∠MOB=∠NOC，利用ASA可以证明△MOB≌△NOC，则可以判断②正确；作交BC于E点，根据等腰直角三角形的性质和垂线段最短可以判断①错误；
【片断二】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG．利用旋转的性质可以证明△AFG≌△AFE，则可判断△AGE是等腰直角三角形，利用勾股定理即可证明；
【片断三】过点C作EC的垂线交EB延长线于F，可证△FCE是等腰直角三角形，并可得△CDE≌△CBF，即可推出结论，解决问题；
【片断四】结论：DH+GB=HG．连接FH、CF、CE、EG，延长AB到J，使得BJ=DH，易证△ADF≌△CDF，利用三角形的内角和定理可以推出C、F、H共线，

同理也可得C、E、G共线，根据A、G、E、F、H共圆和圆周角的性质得到∠FCG=45°，可以推出∠BCJ +∠GBC=∠GCJ =45°=∠HCG，利用SAS可以证明△CGH≌△CGJ，则可以得到DH+BG=GH．

解：【片断一】：①错误，②正确；
理由：如图1中，作交BC于E点

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB=OC=OD=OA，∠ABO=∠OCN=45°，
∵∠MON=∠BOC=90°，

∴∠MON-∠BON =∠BOC-∠BON
∴∠MOB=∠NOC，
∴△MOB≌△NOC（ASA），
∴BM=CN，
∴，

即②正确，

又∵，△BOC是等腰直角三角形，

则有，

∴

即，故①错误；

【片断二】

：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG；

证明：如图2所示，连接GE，GF，

∵∠MAC=45°，并且由旋转可知∠BAE=∠DAG，AG=AE，

∴∠GAF=∠EAF=45°

又∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF，∠GAF=∠EAF =45°，AG=AE，

∴∠GAF+∠EAF =90°，

即△AGE是等腰直角三角形，

∴，
又∵∠ADG=∠ABE=∠ADF=45°，
∴∠FDG=90°，
∴，
即有．
故答案为：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG．

【片断三】：如图，过点C作EC的垂线交EB延长线于F，

∵∠ECF=∠DCB=90°，
∴∠DCE=∠BCF，

∵∠BEC=45°，即△FCE是等腰直角三角形，

∴CE=CF，
∵CD=CB，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴ED=FB，
∴EB+ED=EB+FB=EF，
又因为EC2+FC2=EF2，
∴（EB+ED）2=2EC2．

【片断四】：结论：DH+GB=HG．
证明：如图示，连接FH、CF、CE、EG，延长AB到J，使得BJ=DH，

∵DC=DC，DF=DF，∠ADF=∠CDF=45°，

∴△ADF≌△CDF（SAS），

∴∠DAF=∠DCF，

由三角形的内角和定理可知：

∠DFC=180°-∠FDC-∠DCF =180°-45°-∠DCF=135°-∠DCF，

∠DFH=180°-∠FDH-∠DHF =180°-45°-∠DHF =135°-∠DHF，

∠DCF+∠DHF=90°，

∴∠DFH+∠DFC

=135°-∠DCF +135°-∠DHF

=270°-（∠DCF +∠DHF）

=270°-90°

=180°，
∴C、F、H共线，

同理可证C、E、G共线，

∵CD=CB,∠CDH=∠CBJ=90°，DH=BJ，

∴△CDH≌△CBJ（SAS），
∴CH=CJ，∠DCH=∠BCJ，

连接E，G，

∵A、G、E、F、H共圆，∠DAG=90°，

∴HG是圆的直径，

∴∠HFG=∠GFC=90°，并且∠FGE=∠FAE=45°，

∴∠FCG=45°，

∴∠DCH+∠GBC=45°，

即有∠BCJ +∠GBC=∠GCJ =45°=∠HCG，

在△CGH和△CGJ中

∴△CGH≌△CGJ（SAS），
∴HG=GJ，
∴DH+BG=GH．