Question

11．如图，△ABC中，AC=BC=a，AB=b，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点E，过点D作⊙O的切线MN，交CB的延长线于点M，交AC于点N．
（1）求证：MN⊥AC；
（2）连接BE，写出求BE长的思路．

Answer 1

分析 （1）连接OD、CD，由BC是直径可知∠BDC=90°，易证OD是△ABC的中位线，从而可知OD∥AC，由切线的性质可知：∠MDO=90°=∠MNC，从而得证．
（2）由于∠BEC=90°，AD与AC的长度已知，利用勾股定理即可求出CD的长度，然后利用等面积即可求出BE的长度．

解答 解：（1）连接 OD，CD．                 
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB        
∵AC=BC，∴D是AB的中点
又∵BC 是⊙O 的直径，即O 为 BC的中点
∴OD∥AC，∠MDO=∠MNC       
∵MN是⊙O 的切线，切点为D
∴OD⊥MN，即∠MDO=90°=∠MNC
∴MN⊥AC               

（2）由BC 是⊙O 的直径，可得∠BEC=90°；   
由CD⊥AB，在 Rt△ACD 中，AD、AC的长可知，
用勾股定理可求CD的长；
由AB?CD=2S_△ABC=AC?BE，可得BE的长．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理等知识，综合程度较高，属于中等题型．